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构造辅助函数解题


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:潘培彬 张立建 陶富春 [字体: ]

构造辅助函数解题

潘培彬  张立建  陶富春

江苏省建湖高级中学    224700

 

    不等式恒成立、有解等问题,往往需构造辅助函数,借助导数研究函数的性质解题.这里列举几种常用的构造函数的方法,供大家参考.

 

一、不等式的证明:

证明不等式,常用方法是:1作差构造函数,转化为证明.求导后不易求得最小值时,考虑方法22,若满足,则不等式得证;3上述两法都不合适时,考虑先变形,再运用上述两法.

作差构造辅助函数

12013北京18】 设为曲线在点处的切线.

   (Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)证明:除切点之外,曲线在直线的下方.

分析:第(1)问考查函数的在某点处的切线;第(2)问考查函数与其它函数图象的关系,可转化为不等式恒成立,进而作差构造辅助函数,求证即可.

解析:(1)切线的方程为; (2)除切点之外,曲线在直线的下方等价于恒成立 .只需证恒成立.,只需证.下求.,又上是增函数,且,故有且只有一个根.因此,时,,函数上单调递增;时,,函数上单调递减..即除切点之外,曲线在直线的下方.

变形构造辅助函数

22014全国新课标21】设函数,曲线在点(1)处的切线为I)求; (Ⅱ)证明:.

分析:第(Ⅱ)问,求导得河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,超越方程的根不能操作.故必须转化,通常方法是将分离,将转化为不等式,再证明,故只需构造两个函数河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!和函数河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!.

    解析: (Ⅱ)河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,从而河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!等价于河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!.

设函数河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,则河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,所以当河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!时,河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!;当河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!时,河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,故河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!单调递减,在河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!单调递增,从而.河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,则河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,所以当河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!时,河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!;当河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!时,河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,故河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!单调递增,在河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!单调递减,从而河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!.河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!,等号取不到.河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!.成立,所以河南教考资源信息网(www.henanjk.com),高考备考的理想选择!.

点评:对于由指数函数和对数函数组合而成的函数,常将指数和对数分开来处理,既含有指数又含有对数的的函数求导后是难以求解的.另外,对于不等式,若作差构造函数又会遇到超越方程的问题,故继续考虑转化,用方法2:即转化为证明.

主元构造辅助函数

   对于多元不等式的证明,选取适当的主元构造函数,一般将变量看作整体作主元或选择任意一个字母为主元.

    3 、已知函数图象上任意不同的两点,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:.

    解法1:证明:  ,故. ,不妨设,要证明:,只要证.又因为,所以只要证.即证.,则.上是增函数.,故,从而,即.       

解法2:不妨设.要证明,即证明.,则,故函数单调递增,所以,即,也就是.

点评:解法1将整体看作主元,作差构造函数,利用函数单调性求解;解法2选取两个参数中的一个字母为主元构造函数,另一个看作参数,再来研究函数的单调性.以上两种处理方法,也是我们处理两元函数问题时的常用方法:看作整体达到消元的目的;选取一个为自变量,另一个看作参数(常数)达到消元的目的,化“两元”为“一元”.

 

二、含参不等式恒成立问题

在高考试题中,利用导数求不等式中某一参数的范围问题非常活跃,且常以压轴题的形式出现.它的一般形式是:若关于的不等式对区间中一切都成立,求的取值范围.一般的解法有两种:一是求出中的最大值(或最小值),进而求出的范围;二是用参数分离法,即将不等式转化为的形式,其中中不含参数,再求出中的最大值(或最小值),进而求出的范围.方法一通常要分类讨论,对能力的要求较高;方法二只需求出不含参数的函数的最大值或最小值,如果这个函数比较简单,则相对比较容易.

分离参数法、作差法构造辅助函数

4 2014江苏19】已知函数,其中是自然对数的底数.

1证明:上的偶函数;

 2)若关于的不等式上恒成立,求实数的取值范围;

 3)已知正数满足:存在,使得成立.试比较的大小,并证明你的结论.

    分析:第(2)问,分离变量构造函数;第(3)问,已知条件是存在性问题,可作差构造函数,转化为函数的最小值.要比较的大小,可转化为比较的大小,作差构造函数,考查函数值与的大小关系.

    解析:(1)证明:函数定义域为,因为,所以是偶函数.

2)由,由于当时,,因此,即,所以本资料来源于http://www.xuekewang.com恒成立.,则本资料来源于http://www.xuekewang.com对任意本资料来源于http://www.xuekewang.com恒成立,故.因为本资料来源于http://www.xuekewang.com,当且仅当本资料来源于http://www.xuekewang.com时等号成立.所以,故

3)由题意,不等式上有解,即上有解.等价于.,则.时,(因为),故函数上是增函数,故,即.构造函数,则,当时,,当时,;当时,,故上是增函数,在上是减函数,又,所以当时,,即;当时,,即.因此当时,;当时,;当时,

三、构造辅助函数解决其他问题

联想构造( 结构构造)辅助函数

    5 2013江苏13  在平面直角坐标系中,设定点是函数图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为              .

分析:已知点之间的最短距离为,自然想到距离公式(转化为代数函数,本题的切入点),设,则观察分式结构的特征,联想已有知识经验,不难发现,将作为一个整体,换元令可转化为关于的二次函数,但需注意的是(隐含条件).

    解析:设,则,令,则.函数,对称轴,(1)当时,上单调递增,所以,令,此时.

(2)时,上单调递减,在上单调递增,所以,令.

    综上,的取值为.

点评:观察题目结构特征特别是隐性结构,如本题两个分式结构的关系不难联想到通过平方构造,使两者有效联系,达到消元的目的,使结构简化,函数最值求法直观明朗.

6 2009天津卷10】 设函数上的导函数为,且,则下面的不等式在内恒成立的是      

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   分析:由联想两函数积的导数,构造函数.2联想到的导数是.不等式两边同乘,可配凑出函数的导数.

二次构造辅助函数

7 2013辽宁11】 设函数满足,则时,      

A有极大值,无极小值                B有极小值,无极大值      

C既有极大值又有极小值              D既无极大值也无极小值

  解析:由已知条件得,令,则..因此当时,;当时,.所以处有最小值.,从而

所以上单调递增,无极大()值,故选D.

点评:本题研究导函数的性质,对导函数中不能直接判断的部分构造辅助函数,二次求导确定函数的极值.

经过适当的数学构造和变形,使非函数问题函数化,通过研究函数的图象和性质来解决原问题,是函数思想的重要体现。构造辅助函数,需进行系统的归纳梳理,掌握相关的方法,熟悉常用结构,才能突破难点,提升数学知识的应用能力。

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