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归类例析向量的求解策略


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:潘培彬 张立建 [字体: ]

归类例析向量的求解策略

潘培彬  张立建    江苏省建湖高级中学   224700

   向量是矢量,具有代数与几何双重特点,因此在分析解决向量问题时要充分灵活地使用这两个特点解题.在高考试题中,有运算类的、几何类的、数形结合类的.本文通过高考试题来看一下向量知识在高考中的考查,希望能对读者带来些启示和指导.

   1、向量基本定理(向量分解定理)解题

   1[2013江苏10] 分别是的边上的点,,若为实数),则的值为             .

   分析:由条件易知,要选取基向量{},则

2[2013天津理12] 在平行四边形, , , 的中点. , 的长为         .

分析:夹角未知,故不可直接作数量积运算,需转化为向量的坐标形式或用向量基本定理求解,又不是正交分解,故结合已知与未知,选择向量基本定理解题,选{}作基底.

解:设,则.

,解得.

注:1、例2都要先画出图形,借助图形分析,得到解题的思路和方法,非常关键.向量基本定理是向量理论的基础,一切方法、应用都是建立在向量基本定理之上的,学生做向量题目时,常常感觉到茫然,绕来绕去题目是做出来,但总是感觉心中“无底”,下次还是这样解题.主要原因是抓不住关键点和切入点,这都是因为没有理论指引,忽视了向量基本定理这一基石.

    2、代数运算

    关键是向量问题的实数化.向量实数化的途径:一是根据向量数量积的定义;二是通过建立坐标系实数化.特别是正交分解时,建立直角坐标系,转化为坐标形式的代数运算(考查垂直、平行、面积、模等).

    3[2013安徽文13] 若非零向量满足,则夹角的余弦值为__________.

    分析:数量积运算,直接应用模长和夹角公式.

    解:两边平方得,解得,所以.

4[2013山东理15] 已知向量的夹角为,且||3||2,若,且,则实数的值为__________.

分析:运用向量基本定理后进行数量积运算,利用方程思想求待定系数.

    解:选{}作基底,由()0,所以,即,解得.

   5[2013浙江理17] 为单位向量,非零向量.的夹角为,则的最大值等于__________.

    分析:求最值往往具有一定的综合性,利用函数性质、基本不等式、导数求解是常用方法.本题将向量转化为函数求解,考查转化化归思想、函数与方程思想.

解:,故,当时,

时,.

    坐标形式是向量的代数化,通过建立直角坐标系,将向量代数化,可以用代数方法求解几何中的问题(如:平行、垂直、线线、线面、面面关系及空间中的角等等).

    6[2013江苏理22] 如图,在直三棱柱中,,点的中点.

1)求异面直线所成角的余弦值;

2)求平面与平面所成二面角的正弦值.

分析:以点为坐标原点,以{}为基底建立空间直角坐标系,将几何问题转化为向量的夹角问题(用坐标进行向量的运算).向量在解空间角时很有优势,轻易解决了找(作)角这一难点.

解:略.

3、数形结合类(几何意义)

这里主要指的是,转化为直角坐标形式后,利用平面解析几何知识求解或平面几何知识用向量求解。向量的线性运算的三角形法则、平行四边形法则的解题,实质是基底法。

    7 [2013湖南理6] 已知是单位向量,,若向量满足,则的取值范围是_________.

分析:由模我们一般这样思考:(1)直接应用模长公式;(2)转化为坐标形式后运算(垂直,正交分解).

解:令,由得,即点在以为圆心,以1为半径的圆上.的几何意义是点到原点的距离,如图所示,当点在位置时到原点的距离最近,在位置时最远,而 ,即.

8[2013安徽理9]在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足,则点集所表示的区域的面积是_________.

分析:本题要得到点的可行域,难点在于确定两定点的位置,建立合适的数学模型.

解:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使两点关于轴对称,由已知,可得出,点(1)(,-1).

,则由,即画出动点满足的可行域求区域的面积即可.

9 [2013北京文14] 已知点.若平面区域由所有满足(12,01)的点组成,则的面积为__________.

分析:相比例7,本题只需将向量条件转化为点满足的二元一次不等式组,线性规划求解,难度不大.

解:设,则.解得,所以画出可行域求解即可,以下略.

    10[2013安徽理13] 已知直线交抛物线两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为__________.

解:如图,设()(),则()().0得-()()20()(1)0,所以所以.

评:圆锥曲线问题中的平行、垂直、共线等问题都可以用向量来刻画.

 

4、以向量为载体,考查其它知识

    向量知识的特殊性,决定了与其它知识的联系,主要是与解三角形、三角函数等知识相结合。

11[2013陕西文16] 已知向量,设函数.(1)的最小正周期;(2)上的最大值和最小值.

解:.(1)的最小正周期为.(2),所以,即上最大值是1,最小值是.

评:本题重在考查三角函数知识,但前提是先进行向量运算转化.

 

通过以上几例,我们知道向量问题,一画图,用几何知识求解(向量基本定理);二如不能解决,则代数化,即建系用坐标形式求解或数量积运算转化为实数(标量)运算,此时用到转化化归思想、函数与方程思想、待定系数法等,再者,我们要重视向量的概念、向量基本定理等知识的理解与认识,理解透彻到位了,解题思想和方法都是自然的、易掌握和融会贯通的.

 

 

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