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函数零点的解决策略


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

函数零点的解决策略

江苏省建湖高级中学    224700    张立建

 函数是数学的重要组成部分,除去基本初等函数外的函数的性态我们不是很清楚的,我们只能通过对函数性质的研究,对函数进行粗略的定量的分析。函数的零点是我们研究函数性质的一个方面,也是高考考查的热点,在近几年的高考中出现频率非常高。本文结合1213年的高考试题介绍几种函数零点的处理方法供读者参考。

一、解方程(方程思想)

我们把使得成立的实数,叫做函数的零点。因此,函数的零点与方程有密切的联系。方程的解就是函数的零点(也是函数图像与轴交点的横坐标);且方程的解就是新函数的零点,也是函数与函数的图像的交点的横坐标。因此我们可以研究方程或函数图像解决函数的零点问题。

1[2012湖北理9修改)函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。在区间高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的零点是(  )

解析:解方程,解得。又,因此,故方程有,共6个根。即函数零点是

构造函数法

函数的零点个数就是函数图像与函数图像交点的个数。此类型题目一般要求能够作出函数的图像。

2[2102北京文5] 函数www.gkxx.com的零点个数为(    

解析:函数由两个初等函数复合而成,可以作出两个初等函数的图像,故函数的零点个数就是两函数图像的交点个数。由图易知,函数1个零点。

 

3、函数上有且只有一个零点,求实数的取值范围。

解析:令。即。令,则,故在上,上是减函数,在上是增函数。又,当,且当时,;当时,,故函数的图像如图,由图像得当时,函数图像有且只有一个交点,即函数上有唯一零点,所以的取值范围是

三、数形结合法(利用函数的零点求参数取值范围问题)

此类型题目是零点问题中的热点问题,在20122013年多省市的高考试题中涉及。

   4[2012天津文202] 已知函数www.gkxx.com,其中。若函数www.gkxx.com在区间(-20)内恰有两个零点,求的取值范围。

    解析:,令。则

-1

+

0

-

0

+

极大值

极小值

x

 

所以上单调递增,在(-1,0)上单调递减,又, 从而解得

5[2012山东文12]设函数www.gkxx.comwww.gkxx.com。若www.gkxx.com的图象与www.gkxx.com的图象有且仅有两个不同的公共点www.gkxx.com,则下列判断正确的是

 

(A)www.gkxx.com    (B)www.gkxx.com

(C)www.gkxx.com    (D)www.gkxx.com

解析:函数www.gkxx.com的图像与www.gkxx.com的图像有且仅有两个不同的公共点,等价于方程www.gkxx.com有且仅有两个不同的实根www.gkxx.com。设www.gkxx.com,则方程www.gkxx.comwww.gkxx.com同解,故有且仅有两个不同零点www.gkxx.com。由www.gkxx.comwww.gkxx.comwww.gkxx.com.由此知函数的图像的变化趋势如图(1),要想与轴有2个交点,则必须轴经过1个极值点。而www.gkxx.com,故必有www.gkxx.com由此得www.gkxx.com.则图像如图(2

www.gkxx.com.所以www.gkxx.com,比较系数得www.gkxx.com,故www.gkxx.com.www.gkxx.com,由此知www.gkxx.com,故答案为B.

评注www.gkxx.com,研究www.gkxx.com的图象与www.gkxx.com的图象的交点等价于研究函数的零点。可用导数研究函数的图像数形结合求解。

6[2013江苏20] 设函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,其中高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为实数。(1)若高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是减函数,且高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上有最小值,求高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的取值范围;(2)若高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是单调增函数,试求高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的零点个数,并证明你的结论。

分析:(1)数形结合法:利用导数研究函数的单调性,作出函数的图像研究与轴的交点。(2)函数的零点等价于方程的根等价于函数与函数图像的交点的横坐标,故本题也可转化为研究函数的图像求解。

 解析:高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上恒成立,则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,故高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

    (),高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。得增区间为;高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。得减区间。函数有极大值(最大值),无最小值。当时,,当且仅当时取等号。即当时,。故1个零点;当时,,故2个零点。

    (),则,易得1个零点。

    (),则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上恒成立,即高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是单调增函数,当时,;当时,。此时,1个零点。

    综上所述,当时,1个零点;当时,2个零点。

评注:函数表达式含有参数,需分类讨论。当值不同时,函数的单调性和图像发生了变化,从而零点个数改变。本题作为压轴题,难度中等,但考查的知识面广,分类讨论思想、转化化归思想、数形结合思想等都得到了体现,综合的考查了学生的分析问题、解决问题的能力。

    综上,解决函数零点问题,关键在于数学思想的灵活应用,要特别注意函数与方程的思想、数形结合思想、化归思想,在函数的零点、方程的根、函数图像的交点之间合理转化。对于函数的图像常常借助函数的性质、导数等工具得到。这种以“形”助“数”、数形结合的思想在解数学题中发挥着重要作用。

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