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例谈多元函数条件最值的解法 --------由一道江苏数学联赛初赛题谈起


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

例谈多元函数条件最值的解法

--------由一道江苏数学联赛初赛题谈起

张立建   

江苏省建湖高级中学    224700

    多元函数的条件最值是各类竞赛的热点,由于此类题目往往涉及到函数、方程、不等式、三角、平面几何、向量等知识,灵活性、技巧性、综合性很强,解决策略较多。兹介绍如下。

    一、用数形结合思想求最值

    12013全国高中数学联赛江苏赛区初赛)  设实数满足,则的最大值与最小值之差是________

    解:数形结合法由题意知,点在圆表示圆上的点到原点距离的平方,其最大值为9,最小值1,因此的最大值与最小值之差是8.

    变式:设实数满足,求的取值范围。

    解:,则的几何意义是斜率是-1的平行直线系中与圆有交点的直线的纵截距。因为有交点,所以圆心到直线的距离,解得,即的取值范围是

,则的几何意义是过原点的直线系中与圆有交点的直线的斜率。

直线与圆相切时,圆心到切线的距离,解得。所以

    评注: 当我们要求的多元函数的结构形式与学过的公式(如:两点间距离公式、斜率公式、点到直线距离公式等)结构类似时,可考虑数形结合的思想。再看几例:

    2:若,求的最大值。

    解:

的几何意义是抛物线上的点到两个定点的距离之差,所以

     3设变量《大榕树数学网》(http://www.shuxue.net)可能是中国最大的数学教学及资源网!满足约束条件《大榕树数学网》(http://www.shuxue.net)可能是中国最大的数学教学及资源网!则目标函数《大榕树数学网》(http://www.shuxue.net)可能是中国最大的数学教学及资源网!的取值范围是_____

     分析:的几何意义是斜率为3的直线系中与可行域有公共点的直线的纵截距的相反数。

     :作出可行域,将直线lfxlby平移至点lfxlby处有最大值,点lfxlby处有最小值,即lfxlby.

lfxlby

 

 

 

 

 

 

 

42012年江苏高考题)  已知正数lfxlby满足:lfxlbylfxlby的取值范围是        

分析:先转化为线性规划问题,再数形结合求解。本题特点之一是可行域中有一曲线边界,用导数求临界点,以前很少遇到。

     :条件lfxlby可化为:lfxlby lfxlby,则题目转化为:已知lfxlby满足lfxlby,求lfxlby的取值范围。作出(lfxlby)所在平面区域(如上右图)。过原点作lfxlby的切线,设切点为lfxlby,则切线方程为,又切点在曲线上,故切点坐标为,将点坐标代入切线方程得,即切点坐标为lfxlbylfxlby之间,此时,

 当点lfxlby)是点lfxlby时,由 ,得此时。综上lfxlby的取值范围为lfxlby,即lfxlby的取值范围是lfxlby

评注:线性规划问题是高考热点之一,各省市几乎每年必考,可直接考查求范围或考查线性规划在实际问题中的应用(先转化后解模),是数形结合思想的一个重要体现。

二、用函数与方程思想求最值

  5  2013全国高中数学联赛江苏赛区初赛题)  ,且满足

,则的最大值为_______

移项提取公因式得所以所以(此时可以取内的任意值),或(此时可以取内的任意值)。所以,的最大值为

评注  本题类比二次三项式因式分解,用方程思想求最值是求解关键。对于和、积共存的解析式,常见解法还有如下一些类型:

1、利用的关系构造二次函数或一元二次方程(或不等式)求最值

变式1  求函数的最大值。

解:,则。配方得,所以

本题求解的关键是:利用三角函数的的关系,用换元法化归到二次函数求解。

变式2:(1999全国高考题)设,求的范围。

解:因为,所以。因是方程的两根,所以解得。所以得取值范围是

本题除通过换元法,利用韦达定理构造二次函数求解外,也可以运用基本不等式求解。

变式3   ,求的取值范围。

解法1:(求根法)  ,两边平方得,又,所以,把看作关于的一元二次方程的根,则有解不等式组得所以1

解法2:同解法1,把看作关于的一元二次方程,由,则,矛盾。综上,1

解法3:(利用函数思想)把看作关于的一元二次方程的根。令,则函数的两个零点在()上,所以有解得      1

 

2、利用基本不等式求最值

6、 (2012浙江高考题)  若正数满足,则的最小值    

:因为都是正数,,所以

当且仅当时取等号。

7、已知,且的最小值是_____

:令,原题转化为:已知的最小值。 ==   。当且仅当时,即时,取“=”,此时,

评注:当出现“1”时,要特别重视对“1”的恒等代换。

82010年浙江高考题) 若正实数xy  满足 ,则xy 的最小值是       

解:因为x>0y>0 ,所以,解得。当且仅当2x=y=6时,取“=”,此时xy的最小值为18

    综上可见,一道试题的解答成功与否依赖于选择正确的方法,这就要求我们去观察试

题的结构、类比联想相关的数学知识,建立数学模型,对知识融会贯通,知其所以然。要做到这些,需要扎实的基本功、熟知基本方法、思想和对知识的“理解力”。

  

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