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两道函数零点高考题的比较与思考


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

两道函数零点高考题的比较与思考

江苏省建湖高级中学   张立建  224700

一试题再现

     1、【2013江苏卷20题】 设函数,其中为实数.

1)若上是单调减函数,且上有最小值,求的取值范围;

2)若上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.

     2、【2015江苏卷19题】 已知函数.

1)试讨论的单调性;  

2)若(实数是与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,的取值范围恰好是学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,求的值.

二分析比较 

试题1第(2)问,若上是单调增函数,可得的取值范围是.所以问题是在的条件下,讨论含参数的函数的零点的个数问题.常规思路是:对参数进行讨论确定函数的单调区间和极值,进而作出函数的图象,利用零点存在性定理确定各单调区间上零点的个数.

试题2第(1)问考查含参数的函数单调区间的讨论,第(2)问因为零点个数已知,故极值个数和图象形态已知,故只需确定哪个是极大值,哪个是极小值以及需要极大值大于0,极小值小于0即可.

两题的相同点:都需要讨论含参数的函数的单调区间.

两题的不同点:两题可以看作是逆向问题.1是在参数的不同条件下,作函数图象,确定零点个数;题2是已知零点的个数,据函数图象(得到参数满足的不等式),求参数的范围(但这样设计,作为19题选拔性的题目过于简单了,故在此基础上,给出一个参数的范围.增加另外的参数,将问题延伸到不等式恒成立的问题).

 

三试题解答

1第(2)问解析:高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上恒成立,则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,故高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.

(1),高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。得增区间为;高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。得减区间.函数有极大值(最大值),无最小值.时,,当且仅当时取等号.

     第一种情况,当时,即时,.1个零点;

     第二种情况,当时,即当时,

据零点存在性定理上有1个零点;又,需证(即证.只要构造函数,研究其单调性即可得证,过程略),故上有1个零点.所以时,函数有2个零点.

    (2),则,易得1个零点.

(3),则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上恒成立,即高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是单调增函数,且.由零点存在性定理知,1个零点.

    综上所述,当时,1个零点;当时,2个零点.

2解析:(1)定义域为,令,解得.时,,所以上单调递增;当时,时,,故上单调递增;时,,故上单调递减;时,,故上单调递增;当时,时,,故上单调递增;时,,故上单调递减;时,,故上单调递增.

综上,当时,上单调递增;当时,增区间为,减区间为;当时,增区间为,减区间为.

(2)因为函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!有三个不同的零点且的二次项系数为正,所以函数的单调性为增、减、增,故方程有两个不等实根,且小根为极大值点,大根为极小值点.又函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!有三个不同的零点,故极大值大于0,极小值小于0.因此当时,,即,解得,即;当时,,即,解得,即.故问题转化为学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,且时,关于的不等式恒成立.时,恒成立,求c的值.

    学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,则,故时,,因此递增;时,,因此递减;时,,因此递增.所以当时,即时,,所以,解得;当时,即时,.所以,解得,故.经检验知,当时,.由题意方程有两个异于的不等实根,所以,解得学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!符合题意.

 

四求真

    1、试题1通法思路清晰明了,学生一般都能想到,但对分类讨论能力要求高,易出错.在使用零点存在定理,找函数值时,需要一定的知识、方法储备、还要有灵活广阔的思维力.难点是零点存在性定理,难度太大,大部分学生不能完成.试题2利用函数的零点求参数取值范围问题,此类型题目也是零点问题中的热点问题,在高考中经常出现,如2012年天津文科卷20题第(2)问: 已知函数www.gkxx.com,其中.若函数www.gkxx.com在区间(-20)内恰有两个零点,求的取值范围.只含一个参数时,难度并不大,只需数形结合转化化归即可,学生可以完成.试题2是这种题目的一个变形.学生在根据函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的极大值大于0,极小值小于0得到关于的不等式组之后,不知所措,以前都是求的取值范围,现在已知取值范围,求解不等式组,不知如何运用.抓住三个字“恒成立”,可快速破解.实质是这里需要我们处理二元参数问题(含参不等式恒成立问题),主要方法有主元、消元、选元等,选定作主元,作参数,则不等式转化化归为函数的最值问题,也是我们熟悉的题型,不难求解.此题若分解为两个独立的题目,一已知函数的零点求参数,二已知含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围.我们的学生做起来可能游刃有余.但两个知识点整合在一起,在衔接处的处理,等价转化,思维的转变上,往往做的不好.这说明学生的学习往往有“形”无“实”.平时过于重视题型、解题方法,而能力的培养上没有达到相应的高度,没有形成真正的数学思维,只能生搬硬套,在没见过的题目面前,无所适从,缺少分析问题的思维能力,不能灵活变通,不能等价转化,看不透问题的“根”,没有自己的思考.

 

    2数学思想方法

试题1还可以分离参数得,转化为函数与函数的交点个数,数形结合法求解.个人认为分类讨论思想,是此题的初衷,是对学生思维能力的全面考查和区分.能力要求很高,随时可能出错,难点(找函数值)太难.

试题2用到了分类讨论思想,数形结合思想,函数思想、转化化归思想.难点在于转化化归,正确转化,有一定的思维跨度.

 

五思考

看过高考试题,感觉高三一年复习下来,费力不讨巧.2015年江苏高考数学试卷重点强调了基础知识和创新应用.知识与能力并重,简单题更加偏重基础知识的理解,中档题更加重视相关知识的运用,难题不再是单纯的利用繁琐的计算和复杂的推导过程来增加难度,而是逐渐转变为对方法的思考和灵活运用整合.

几点启发:数学正在回归本源.更加重视知识是什么、为什么、怎么用. 数学教学要放低起点,重视概念教学、回归理解、应用.对于双基教学,基础知识要回归课本,更加基础,不是加大难度和深度.基本技能要更加重视其形成,多进行横向的延伸.少一些题目堆积,多一些知识点综合、迁移、转化.重视知识间的联系,加强其综合应用.不一定非是多个知识点的整合,两个知识点都可以,重要的是联系、迁移,是学生的认识与感悟,锻炼学生学习及思考的能力,综合解决问题的能力和思维.难题实际上是综合性强的题目,“会者不难”,考查学生对于方法的认识和理解,是学生思维的考查.注重数学的应用.特别是与实际问题的联系,数学来源于生活,又服务于生活.这是数学的初衷和“来龙去脉”.

 

 

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