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数形结合法解高考题一隅


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

数形结合法解高考题一隅

张立建   江苏省建湖高级中学    224700

    山东省青州市莲花盆小学  262500

   数形结合思想是重要的数学思想方法之一,在高考中无论填空题还是解答题都有广泛的应用.本文举例说明数形结合思想在处理函数的零点及不等式恒成立中的应用.

一、零点问题

函数零点问题是高考热点问题.主要解决策略是:1定义法:直接作出函数图象,观察图象与轴交点个数;2数形结合法:转化为两个易作出图象的函数的交点.交点个数问题、超越方程的解的个数问题都属于此类.涉及到的函数多为二次函数、反比例函数、绝对值函数、分段函数、三次函数等等,共性为定义域上不单调,且图象多为曲线.   

     1、【2014天津14 】 已知函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.若方程高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。恰有4个互异的实数根,则实数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的取值范围为__________.

高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。     分析:方法一:函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的图象易作,故方程高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。4个互异的实数根转化为函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的图象与高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。图象有4个不同的交点;方法二:当时,变量易分离,故转化为直线与函数图象有4个不同的交点.

高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。解法一: 显然高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的图象与高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。图象有4个不同的交点有两种情况:(1)函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的左支与函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的图象有4个不同交点;(2)函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的左、右支与函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的图象都有2个不同的交点.在第(1)种情况下,当高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。相切时,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,此时高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。恰有3个互异的实数根.故只需.在第(2)种情况下,时,函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的左支必与之有2个不同的交点,故只需右支与高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。2个不同交点,又当直线高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。与函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。相切时,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.

    综上,高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.

解法二:当时,方程不成立.时,方程可化为高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.因为高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,所以高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.结合图象可得高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.

点评:绝对值函数一般处理方法是去掉绝对值化为分段函数,作分段函数图象或利用翻折变换作绝对值函数图象.对于绝对值函数、二次函数常常数形结合求解.

2[2013江苏20] 设函数高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,其中高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为实数.1)若高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是减函数,且高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上有最小值,求高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的取值范围;(2)若高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上是单调增函数,试求高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的零点个数,并证明你的结论.

分析:对于第二问:函数的零点等价于方程的根等价于函数与函数图象的交点的横坐标,故本题可转化为研究函数的图象求解.

解法一:(2高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上恒成立,则高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,故高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。. 的零点是方程的根,也是函数与函数图象交点的横坐标,故本题也可转化为研究函数的图象.,则由函数的图象得当时,函数与函数图象有且只有1个交点,所以1个零点;当时,函数与函数图象有2个交点,所以2个零点.综上所述,当时,1个零点;当时,2个零点.

解法二:假设相切,设切点坐标,则切线斜率,切点代入,解得,故(斜率).故由图象知当时,图象有且只有1个交点,所以1个零点;当时,图象有2个交点,所以2个零点.

    点评:利用函数的图象可以解决超越方程的解的个数问题、函数零点的个数等问题.在解法一中,对于函数的图象,当时,图象恒在轴的上方,易被学生忽视,导致出错.解法二中,这种数形结合法,对于解答题,逻辑性不严谨,不推荐用来解决解答题.

 

二、不等式恒成立问题

“用图”的内涵是:一个与函数相关的求解证明题,若能作出其图象,则图形信息便为我们求解提供了依据,也给求证指明了方向.函数、方程、不等式等问题可化归为函数的图象问题.

不等式恒成立问题,有时我们可以从函数图象入手,找到解题的切入点.反之,两个函数图象的关系可转化为不等式恒成立来处理.

3[2012浙江理17] ,时均有,则         .

分析:想法一:直接求导求最小值,运算量大,基本上无法求解,且时间上不允许.想法二:时,问题转化为一次函数与二次函数的函数值同号,且两函数图象都过点,数形结合易得两个图象都过点时符合题意.故有,解得.易验证时不符合题意,即.此法对思维要求高,不易想到.

点评:此题为三次函数问题,此题方法很多,直接求解三次函数很复杂,整体思考转化为一次函数和二次函数问题数形结合易实现转化,或用必要条件解题也很简单,即令,则只能取.

4 、【2013新课标全国Ⅱ卷21】 已知函数.

(1)的极值点,求,并讨论的单调性;

(2)时,证明:.

分析:第 (2)问 ,通常的解法是:当时,转化为求,证明.即当时,.故只需证明当时,.但极值点是方程的根.学生不知如何处理?思维受挫.我们换个角度,从图象分析,转化化归,作出函数的图象,易发现直线的图象都相切,故只需证明即可.

解析:只需证明当时,.即需证明.,则.时,单调递减;当时,单调递增.,所以(当且仅当时取等号).时,单调递增;当时,单调递减.,所以(当且仅当时取等号).因此,等号不同时成立,故.即当时,.

点评:通过图象,另辟蹊径,找到证明的方向.将证明利用函数与直线的位置关系转化.

5、【2013北京18】 设为曲线在点处的切线.

   (Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)证明:除切点之外,曲线在直线的下方.

分析:第(1)问考查函数的在某点处的切线;第(2)问函数与直线的位置关系问题可转化为不等式恒成立来解决.

解析:(1)切线的方程为; (2)除切点之外,曲线在直线的下方等价于恒成立 .只需证恒成立.,只需证.下求.,又上是增函数,且,故有且只有一个根.因此,时,,函数上单调递增;时,,函数上单调递减..即除切点之外,曲线在直线的下方.

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