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双参数问题的处理


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

双参数问题的处理

张立建   江苏省建湖高级中学   224700

双参数问题是近几年高考中的热点问题之一,这类问题背景多样,联系到的知识面非常广,对学生的要求高,着重考察学生的知识迁移能力、联想构造、综合分析解决问题的能力。本文浅谈双参数问题的处理方法。

(1)     主元变更

 一般地,若问题中有两个参数,我们把已知范围的参数作为主元(自变量),要求的参数作为参数,求其范围。

     1 2015江苏卷19】: 已知函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!.

1)试讨论学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的单调性;  

2)若学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!(实数与无关的常数),当函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!有三个不同的零点时,的取值范围恰好是学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,求的值.

分析:本题第(2)问中将学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!代入即可消掉参数。故实质是两个参数的问题。学生根据函数有三个不同的零点,易得参数满足的条件,是学生熟悉的问题。但随着参数的引入,在处理和条件的联系时,学生思维定势,大多认为为参数,不能转变为为自变量,思维受阻,摸不着头脑。其实,因为的范围已知,故选定作主元,作参数,即可突破难点,则问题转化为函数的最值问题,也是学生熟悉的题型,不难求解.

解析:(1)定义域为,令,解得.时,,所以上单调递增;当时,时,,故上单调递增;时,,故上单调递减;时,,故上单调递增;当时,时,,故上单调递增;时,,故上单调递减;时,,故上单调递增;

综上,当时,上单调递增;当时,增区间为,减区间为;当时,增区间为,减区间为.

(2)因为函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!有三个不同的零点且的二次项系数为正,所以函数的单调性为增、减、增.即方程有两个不等实根,且小根为极大值点,大根为极小值点.又函数学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!有三个不同的零点,故极大值大于0,极小值小于0.因此当时,,即,解得,即.时,,即,解得,即.故问题转化为学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!,且时,关于的不等式恒成立.时,恒成立,求c的值.

,则当时,即时,.时,即时,.,故递增,在,所以,解得,所以.经检验知,符合题意.

评注:此题若分解为两个独立的题目,一已知函数的零点个数求参数范围,二已知含参数的不等式恒成立,求参数的取值范围.我们的学生做起来可能游刃有余.但两个知识点整合在一起,在衔接处的处理,等价转化,思维的转变上,往往做的不好.这说明学生的学习往往有“形”无“实”.平时过于重视题型、解题方法,而能力的培养上没有达到相应的高度,没有形成真正的数学思维,只能生搬硬套,在没见过的题目面前,无所适从,缺少分析问题的思维能力,不能灵活变通,不能等价转化,看不透问题的“根”,没有自己的思考.

2)整体换元

2、已知函数,函数的图象上任意不同的两点,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:

  解析:证明:当,所以  ,故。 又,不妨设,要证明:,只要证。又因为,所以只要证。即证。令,则。故上是增函数。又,故,从而,即     

3:若关于的方程有解,求的最小值。

解析:令,则方程可化为。由题意可得存在实数),使得动点在直线上,的几何意义是直线上的点到原点的距离的平方,故。由存在性知,令,则,令,则上是增函数,故,即,此时(满足)。所以,即的最小值是

评注:将代数问题转化为几何问题,利用几何意义求解,诸如距离、截距、斜率等形式皆属此类。

3)消元

     4:已知函数,若存在实数,使得,且,求实数的取值范围。

     分析:难点在于条件只能说明分别是函数的零点,且没有联系,无从下手。注意观察到函数的解析式已知,可以求出的值,这是解题的题眼。因此问题转化为函数在约束条件下有零点的问题。

解析:因为上的增函数,且,因此。故,解出。所以上有解。即上有解。令,则求导得,故上单调递减,在上单调递增,且,所以,因此数的取值范围是

评注:此题的关键是:两个参数互不相干,且已知一个参数,实质为含一个参数求范围的问题。

5:已知:其中.

①当时,求的单调区间.

②当时,,若函数有两个极值点,求的取值范围.

分析:利用一元二次方程的根与系数的关系,消掉参数,求出的解析式及定义域,则问题得解。

解析:①略;②当时,,定义域。因为函数有两个极值点,所以上有两个不等实根。故满足因此,解出。因为,所以,所以 ,故单调递增,所以

 

    

4)选元

解法2:不妨设。要证明,即证明。令,则,故函数单调递增,所以,即,也就是

6、已知函数,当时,求证:

分析:本题有两个参数,三个结构,故消元变成只含有两个结构,再将一个视为主元,一个看作参数求解。

证明:即证,令,则转化为。构造函数,则,解,故上递增,在上递减。因此。即恒成立。令,即得

 

    5)函数与方程思想

7:设,函数为常数。若函数的极大值为1,极小值为-1,求的值。

分析:根据题意可以得到关于两个参数的方程组,解方程组解出参数的值。

解析:定义域,因为,所以方程有两个不等实根,设为,不妨设,故单调递减,在单调递增,在上单调递减,所以,即化简得两式相加得,又由韦达定理知,代入得,因为,故,解出。因此方程化为,解出两根为,故有,解得

点评:此题难点在两个方程的求解。

8:若函数的定义域和值域都是,求实数的取值范围。

解析:定义域,(1)当时,函数是增函数,则有所以是方程的两个不等正实根,即方程有两个不等正实根,所以解得

(2)        时,函数是减函数,则有两式相减得,即,所以,解得代回得,解出。综合(1)(2)得

评注:当时,转化为一元二次方程的实根分布,亦可分离参数,则上有两个交点。当时,将参数看作未知数,解方程组。

 

 

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