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以函数f(x)=+lnxx+为背景的高考题赏析


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

ZHONGXUESHUXUEZAZHI                                                                          中学数学杂志 2015 年第1 期

 

 

 

 

以函数f( x) = lnx 为背景的高考题赏析


 

 

江苏省建湖高级中学

 

   试题

 

例1 (2013 年江苏卷20) 设函数 f( x) = lnx - ax,g( x) = e - ax,其中 a 为实数.

(1)若f(x)在(1, + )上是单调减函数,且g(x)

 

在(1, + ) 上有最小值,求a 的取值范围;(2) 若 g(x) 在(- 1, + ) 上是单调增函数,试求

 

f( x) 的零点个数,并证明你的结论.

 

例2

(2014 年湖北卷 22) π 为圆周率,e = 2.

71828…… 为自然对数的底数.

 

(1)

 

 

 

求函数f x

 

lnx 的单调区间

 

(2) 求e

,3 ,eππ ,3ππ

这6 个数中的最大数与

最小数;

 

,3 ,eππ ,3ππ

这6 个数按从小到大的

(3) 将e

顺序排列,并证明你的结论.

 

例3  (2013 年北京卷18) 设 l 为曲线 C:y = lnx

 

 

点(1,0) 处的切线.

 

( Ⅰ) 求 l 的方程;( Ⅱ) 证明:除切点(1,0) 之外,曲线C 在直线l 的下方.

 

以上3 道试题都是考查函数的性质和图象, 或以此为背景综合考查分析问题、解决问题的能力.

    函数f( x) = lnx 的性质和图象

 

 

函数f( x) = lnx 在(0,e) 上是增函数,在(e, +

 

 

上是减函数.f( x) max =f(e) = e ,无最小值,有唯一零点

1.

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

证明

 

f x

定义

 

 

域(0,  +

 

 

 

 

 

 

), x)

 

 

- lnx

 

解 f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图1

0 < x < e,所以 f(x) 在(0,

 

e) 上是增函数;令f(x) < 0

 

 

得x >

 

e,所以 f(x) 在(e, + ) 上是减函数.又 f(x)max

f(e)

-1

,f(1)

0,且当x ∈ (e,

时,恒有f( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

224700

 

 

张立建

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

的图象如图

所示.

 

 

 

 

lnx

 

 

 

 

由此可得函数f

 

 

 

 

 

 

 

 

问题的解决

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例1 分析

 

函数零点问题是高考热点问题,分离

参数法是常用解法之一,将函数f(

x)

lnx

ax的零点

 

 

个数问题转化为两函数y =a 与y =

lnx 的图象交点个数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnx 的图象

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

问题

考查函数y =

 

数形结合法求解

但做

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

函数f

 

的图象时要特别注意函数在

(e,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

上时有渐近线( x 轴) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析 (2) g( x) = e  - a 0 在( - 1, + ) 上恒

成立,则a (emin ,故a

 

 

.函数 f( x) 的零点是方

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

 

0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnx

程a

x >

 

 

的根

也是函数y = a 与函数y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图象交点的横坐标, 故本题也可转化为研究函数y

 

 

lnx

的图象.令m x

lnx

则由函数y =

lnx

的图象得当

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =

 

 

或a

 

 

 

 

 

与函数y

=a的图象有且

 

 

 

 

 

 

函数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

只有

 

 

个交点

所以f

 

 

 

 

个零点

 

< a <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

函数m( x) 与函数y=a 的图象有2 个交点,所以f( x) 有

 

2 个零点.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

利用函数f

 

lnx 的单调性比较大

小,可有如下结论:

 

 

 

 

 

lna

lnb

 

 

 

 

 

 

(1)

< a < b <

即a  < b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

< a < b 时

lna

lnb

即a  > b

 

 

 

 

 

 

= b

(0

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

方程a

< a

< b) 有解,则实数 a,b 满

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

足的条件是1 < a < e < b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析

(1)f(x) 在(0,e) 上是增函数;f(x) 在(e,

) 上是减函数.(2) 因为函数y =e ,y =3 ,y = π

定义域上单调递增,故e

< eπ ,3  < 3ππ

π .又函

数y

,y

在(0,

上单调递增,故

 

< 3

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

π

 


 

56


中学数学杂志 2015 年第1 期                                                                ZHONGXUESHUXUEZAZHI


 

 

  < π .因此这 6 个数中的最大数在 3ππ  之中,这 6

 

个数的最小数在e ,3 之中.由函数f( x) = lnx 的单调性

 

 

lnπ

 

ln3

lne.故

3lnπ

 

 

 

 

πln3,eln3

3lne,

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π ,3  < e ,故这 6 个数中的最大数是 3π ,最小数是

 

(3) 由(2) 易得 3  < π

 

 

 

π

< 3π ,3

 

 

< e .又由

 

 

 

 

 

 

 

 

函数f( x)

lnx

的单调性得lnπ

 

lne

,即 π

 

 

< eπ .故只

需比较e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 和eππ

 

 

的大小,由(1) 知,当0

 

< x

 

 

时 f x

 

 

< f

 

 

 

 

 

 

 

lnx

.令 x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (

 

 

 

 

(e)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

lnπ

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

lnπ

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

从而

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.两边同

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,elnπ

e(2

 

 

 

×

(2

72

 

×

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1

 

 

 

 

 

 

 

(2 -

0.88)= 3.024

 

> 3,即elnπ > 3,故lnπ

lne

,所

以e

π .又由 lnπ

2 -

 

 

 

 

 

 

得3lnπ > 3(2 -

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

 

3e

 

 

 

6 -

 

 

 

- e

π,即3lnππ,所以 eπ

π .综上,

 

 

π

 

 

 

π

< eπ

 

π  < 3π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< e

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

分析

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

问考查函数f

lnx 在某点处

的切线;第(2) 问考查函数f( x) = lnx 与其它函数图象

 

 

的关系.

 

解析 (1) 切线 l 的方程为 y = x - 1;(2) 除切点

 

(1,0 ) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于lnx < x - 1,

 

 

 

0,

 

恒成立.只需证x -

 

lnx

0,

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

恒成立.令g

= x

 

 

0,

 

1,

只需证

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g x

 

 

 

 

 

 

.下求 g x

 

 

 

 

.g

2 

lnx

 

又h x

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnx 在(0,

 

上是增函数,且 h(1)

0,故

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

 

 

有且只有一个根x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.因此 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∈ (1, + ) 时,g( x) > 0,函数 g( x) 在(1, + ) 上单调递增;x ∈ (0,1) 时,g( x) < 0,函数g( x) 在(0,

1) 上单调递减. 故 g(x)min > g(1) = 0. 即除切点(1,0 ) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方.

 

   相关应用

 

两个函数图象的关系可转化为不等式恒成立来处理;反之,不等式恒成立问题,有时我们可以从函数图象入手,找到解题的切入点.


 

 

 

 

 

 

 

当x

∈ (0,e]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x >

(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

证明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x)lnx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因为x ∈ (0,e],所以不等式可以变形为x

 

 

 

 

证明

 

 

 

ln

x -

 

 

lnx.令 f x

= x -

ln

x -

 

 

 

lnx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

(0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,e)

 

 

 

 

故f x

 

 

 

(1)

 

上单调递减

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

max

= g

(e)

单调递增

 

因此f x

 

 

 

 

 

 

 

 

.又 g x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

max

 

 

 

 

∈ (0,e]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因此

f x

 

 

 

> g x

 

 

 

 

 

故当x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x)lnx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

点评

 

 

(1)

对于由对数函数和幂函数组合而成的

 

 

 

 

一般是构造函数y

 

 

 

进行证明.

(2)

不等式

函数

 

lnx

 

 

 

 

 

f( x) > g( x) 恒成立通常是利用构造新函数 h( x) =f( x) - g( x) 转化为函数h( x) 的最值,当此法不易解决

时,我们一般考虑求出函数f( x) 的最小值a 和函数g( x) 的最大值 b, 若 a > b, 则问题得证. 但需注意

f( x) min > g( x) max 是f( x) > g( x) 恒成立的充分不必要条件,不具有一般性.

 

(3) 我们可借助函数图象,找到证明思路,如图 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图2

 

 

 

 

 

 

 

lnx

 

图3

 

 

 

 

 

 

已知f x

x- 2 

证明 f

 

 

 

 

 

 

 

 

: (

 

 

 

分析

 

x- 2

 

1 - lnx

 

的解不易求

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

得. 如果作出函数y = e 和y = lnx 的图象,则容易看出

 

 

这两个函数的图象都与直线y =x - 1 相切( 如图3),从而可以转化为证明不等式e x - 1 及x - 1 ln

 

证明 定义域(0, + ),设 g( x) = e - x + 1,则g( x) = e - 1,所以在(2, + ) 上,g( x) > 0,g( x) 单调增,在(0,2) 上,g( x) < 0,g( x) 单调减,故g( x) g(2) = 0.即 e x - 1( 当且仅当 x = 2 时取

 

等号) .又由例3 知x - 1 lnx( 当且仅当x = 1 时取等

 

 

号),因此e x - 1 ln( 等号不能同时取到),所以

 

x- 2

lnx

即f x

0,

得证.

 

 

 

 


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