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用初等方法再解最值


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

用初等方法再解最值

                   江苏省建湖高级中学      张立建   224700

 

    [1]中,用柯西不等式的向量形式解决了一类最值问题,体现了柯西不等式在解决最值问题中的优势。本文对文[1]中的例题用初等数学方法给出解答。

    数形结合法:当我们要求的多元函数的结构形式与学过的公式(如:两点间距离公式、斜率公式、点到直线距离公式等)结构类似时,可考虑数形结合的思想。

    1、若的最小值为           2000年希望杯高一培训)

解:   ()是直线上的任意一点,求的最小值,即求直线上的点到原点(0,0)的最短距离的平方。因为,所以

    5、实数满足方程,则的最大值等于       。(1999年希望杯高二1试)

    解:方程表示的曲线是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆。令表示的图形是直线,其中的意义是该直线纵截距的相反数。因为,解得,即与圆相切斜率为2的直线方程为。故,即

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

    5                                       6

 

    6、若,则的最小值等于(  )(2003年希望杯高二2试)

    解:,其中表示点到点A-3,1)的距离,在直线的上方区域中的任一点。所以

    9、当点沿直线移动,点在椭圆上运动时,线段的长度的最小值等于             2003年希望杯高二培训)

    解:线段的长度的最小值等于椭圆上的点到直线的距离的最小值。设椭圆的斜率是2的切线方程为,联立方程,所以,解得。椭圆上的点到直线的距离的最小值等于直线的距离,。故线段的长度的最小值等于

    不等式法:利用基本不等式、柯西不等式、三角形不等式求解最值问题。

    基本不等式:

    3、已知均为正实数,且,则的最小值是          2000年希望杯高二培训)

    解:因为均为正实数,所以有

    当且仅当时,取“=”。故

    4、已知,且的最小值是(     )(2000年希望杯高二培训)

解:令,原题转化为:已知的最小值。 ==   。当且仅当时,即时,取“=”,此时,

柯西不等式:

2、设实数满足的最大值为(  )(2000年希望杯高二培训)

    解:由柯西不等式得所以,当且仅当时,取“=”。

    7、如果的最大值是

         1997年希望杯高二培训)

    解:柯西不等式:。所以

    换元法:

    8、函数的最小值为            2001年希望杯高一培训)

解:令,则,即,所以

参考文献:

  [1]戴志祥.构造向量求最值[J].《数理天地》高中版,20131

 

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