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由试题浅谈数学解题思维的形成


[日期: 2016-11-04] 来源:  作者:张立建 [字体: ]

由试题浅谈数学解题思维的形成

江苏省建湖高级中学  张立建  224700

 

   1问题

    1  [2013江苏卷13在平面直角坐标系中,设定点是函数图像上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为          

最近,任教班级在一轮复习练习题中,解答了此题,在回味练习中重复出现,但答题情况不理想。故笔者对这道试题的思维形成及思维困难进行了分析和研究。本题题干简捷直观,考查了用代数方法解决平面解析几何中的距离问题,以距离作为解题的切入点,看起来难度不大,实则不然,那么此题难在哪里?首先:将几何中的距离问题转化为函数问题(这是最关键的);其次:函数解析式中分式结构的化简转化;第三:函数转化之后,定义域这一隐含条件过于隐蔽。

 

2思维过程形成

下面剖析代数方法解决此题的思维形成过程:已知点之间的最短距离为,故需要研究两点的距离,自然想到距离公式转化为代数函数(本题的切入点,也是第一个隐含条件)。设,则是自变量,看作常数,第二个隐含条件),紧接着思考的是求解函数的最值,解决这个问题的关键是转化为基本初等函数求解,但分式结构让我们思维受阻(如何攻破这个阻力是解决本题的关键和难点),观察分式结构的特征,联想已有知识经验,不难发现,将作为一个整体,经过配方可转化为关于的二次函数(挖掘到第三个隐含条件),即换元令可转化为关于的二次函数,但需注意的是(挖掘到第四个隐含条件),所以学生得到函数

后,直接得出的最小值为典型错误之一)是错误的,最后研究二次函数的最小值,是含参数的动轴定区间问题,中等以上的学生解决起来游刃有余。下面给出本题的详细解答过程:

解:设,则,令,则。函数,对称轴,(1)当时,上单调递增,所以

,令,此时

(2)时,上单调递减,在上单调递增,所以,令

    综上,的取值为

由以上剖析过程不难发现,本题把若干个知识点隐藏起来,所以寻求解题思路的关键是从题目中不断挖掘出有利于形成解题思路的隐含条件。“如何挖掘”是本文论述的数学思维形成的重点。一般的来说,就是观察题目结构特征特别是隐性结构,联想头脑中的已有信息(相关知识点、思想方法),将之与题目结构中提供的信息进行有效结合,如本题两个分式结构的关系源于苏教版必修1,第48页第5题:若,求的值。不难联想到通过平方构造,是将两者有效联系的途径,达到消元的目的,使问题转化,再求二次函数最值目标明确。当然,可能有时有些想法与题目结构不能有效结合,这与解题方法的选择、相关知识的联系、处理方法的选择有关,此时,我们要转换其它相关知识,甚至改变解题思路、方法。

 

3学生思维过程

笔者通过对学生解答的访谈了解到以下几个方面:

(1)在将问题转化为函数最值之后,不会化简解析式。原因:函数解析式中的两个分式结构的特征具有隐蔽性,不够明显,不能进行有效的联系,形不成解题思维。实际上我们需通过“平方构造”。

(2)得到函数,直接得到。原因:忽视隐含条件(隐性限制条件),实际上我们注意到是解决函数问题,自然想到首先应考虑的是定义域,即自变量的范围,问题就解决了。因此,我们平时重视函数等基本概念的作用,形成我们思维的理论基石。

    (3)对定点 与动点的错误认识,谁是主元,谁是参数?

    在直线上运动,在曲线上运动,故有学生解答如下:,令,则。函数,当时,,解得。原因:审题不清,定点说明虽然未知,但是确定的常数。动点说明是自变量。故当题目出现多个字母时,我们需谨慎判断谁是主元?如:注意题目中的“动”点、“定”点、“定常数”等字眼。

    (4)先入为主,错误转化题意。

    部分同学解答如下:定点在直线上,动点在曲线上,由图易知图象交点,所以原题转化为点到点的距离为,解得

错因分析:思维定势,由图易知,当点在曲线左下方时,距离是点与曲线上动点的最短距离。但当点在曲线右上方时,曲线对称轴上的定点到曲线上动点的最小距离还等于其到顶点的距离吗?联想圆锥曲线,易有:有效链接:题2[苏教版选修2-174页第15题修改] 已知点是抛物线)上的动点,定点,,的最小值。

解:设,则。对称轴,(1)当时,即时,,解得。即到抛物线顶点的距离最小。(2)当时,即,解得。综上

评:当时,取得最小值时,点是抛物线的顶点;当时,取得最小值时,点的横坐标为点不再是抛物线的顶点。

2、题1是圆锥曲线的一类典型问题:圆锥曲线上的动点与其对称轴上的一个定点的距离的最值问题。

 

4反思

通过作图易知此题有两解,但只通过草图很容易造成感性认识的错误,且错误比较隐蔽,所以说“形少数时难入微”,这也是在解答题中慎用数形结合法的原因之一。

我们注意到几种错误的产生都是由于隐含条件处理不好导致思维错位。解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,当几何问题代数性很强时,学生往往很难形成正确的解题思路,故平时我们应对接触到的代数结构、思想方法多总结积累、联想、构造、拓展应用,养成良好的思维习惯和解题习惯,对一些比较明确的问题,形成明确的、正确的思维方式。

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